国家公務員や、都道府県や政令指定都市といった大きな市の試験では、職員採用部門が独立しており（人事院や人事委員会）コネで合格できることはありません。
中小の市町村や消防では、コネの噂が飛び交っていることもありますが「役場の課長の知り合い」「議員の知り合い」ぐらいの話で合格させていては「全員合格させるしかない」事態になることは簡単に想像できるでしょう。
ほとんどは、試験前日に合否の結果を教えてくれるぐらい(たまたま合格していたら「自分のおかげで合格した」かのように話したりしますが)のことで、気休め程度のものだと思って下さい。
念のため書き添えておけば、本当にコネを効かせようと金品のやりとりなどをすれば、犯罪になります。