合格を第一に考えるのであれば、高卒のほうが有利です。
同じ職種の試験では、大卒のほうが採用数が多いので、高卒より有利と思っている人が多いようです。
しかし、高卒で受験する場合、有力な競争相手は大学に進学して「いなくなってしまう」のに対して、大卒の試験では地元の国立大学や本州の難関私大卒業者と競争しなけばなりません。
一例をあげると、国家一般(大卒)の場合、九州大学でも合格率（最終合格数÷受験者数）は20％前後（九州内の国立大の全平均で約8％）、私大であれば福岡大学や西南学院大学で6〜8％（九州内の私大平均で約3%）です。

初級(国家公務員では一般職(高卒)、警察官ではＢ区分)は高卒程度、 上級(国家公務員では一般職(大卒)/総合職、警察官ではＡ区分)は大卒程度を対象にしてます。
上級がいわゆる「幹部コース」になりますが、最近は募集区分に関係なく実力をもつ職員は昇進させるようにかわってきています。また、初級採用者でも採用後、選抜で「研修」を受講すると、大卒と同等の職階に就ける官庁もあります。
また給与も上級採用者の方が初任給は5段階(20号級)高く設定されているわけですが、実際は高卒者と大卒者で4歳差がありますので、同一年齢に達したときで比較すれば1段階(4号級)分の差しかありません。（もちろん、昇進の状況によっても変化しますが）

ほとんどの初級試験では、高校生の就職を保障するため、大卒者が受験できないように年齢制限や学歴制限がかけられています。
大卒者でも受験できるのは、中小の市町村役場（上級区分がないところ）、消防官（上級区分がないところ）に限られます。（都道府県や福岡市・熊本市のような大きな自治体では、上級と初級試験が別々に設定されています）
これらの「大卒受験可の試験」が第一希望であれば、中上級コースの学校に行って勉強するのはオーバースペック(合格に不要な難解な勉強をさせられる)です。
また、警察官は、大卒と高卒が別区分となっていますが、専門試験がなく教養試験だけですので、公務員ゼミナールの授業をベースにして充分合格をねらうことができます。

大学に通うことを配慮してくれる職場があります。
大学も、全日制（昼間一日）だけではなく、夜間(二部)や昼夜開講制などを多様な形態で学生を受け入れるようになってきています。
公務員の職場でも、大学に通う職員に対して、残業の制限や通学しやすいような勤務地を配置してくれることもあるようです。
なお、大学を卒業した時点で大卒扱いとなり給与が1段階(4号級)昇級することが一般的です。